【作者簡介：丘成桐，當(dāng)代數(shù)學(xué)大師，現(xiàn)任哈佛大學(xué)講座教授，學(xué)術(shù)影響遍及理論物理和幾乎所有核心數(shù)學(xué)分支。年僅33歲就獲得代表數(shù)學(xué)界最高榮譽的菲爾茲獎(1982)，此后獲得MacArthur天才獎(1985)、瑞典皇家科學(xué)院Crafoord獎(1994)、美國國家科學(xué)獎(1997)、沃爾夫獎(2010)等眾多大獎�，F(xiàn)為美國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院和俄羅斯科學(xué)院的外籍院士�！�

編者按：鑒于網(wǎng)上流傳的各種根據(jù)現(xiàn)場演講整理的文本，高等教育出版社特刊發(fā)經(jīng)丘成桐先生親自修訂的最終版本供讀者參考。簡體中文版載于高等教育出版社“數(shù)學(xué)與人文”叢書第17輯《數(shù)學(xué)的藝術(shù)》，網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載請注明出處，其他商業(yè)機構(gòu)轉(zhuǎn)載請聯(lián)系高等教育出版社。

1. 引言

從古到今，無論是科技，數(shù)學(xué)，或人文科學(xué)，內(nèi)容愈來愈豐富，分枝也愈來愈多。考其原因，一方面是由于工具愈來愈多，能夠發(fā)現(xiàn)不同現(xiàn)象的能力也比以前大得多，一方面全世界的人口大量增長，不同種族，不同宗教，不同習(xí)俗的人，在互相交流后，不同觀點的學(xué)問得到融會貫通，迸出火花，從而產(chǎn)生新的學(xué)問。

從前孔子討論自己的學(xué)問時說：吾道一以貫之�，F(xiàn)在的學(xué)科這么多，這么復(fù)雜，今天有人能做得到孔子所說的一以貫之嗎？我現(xiàn)在來探討這個問題。

學(xué)者在構(gòu)造一門新的學(xué)問，或是引導(dǎo)某一門學(xué)問走向新的方向時，我們會問，他們的原創(chuàng)力從何而來？為什么有些人看得特別遠，找得到前人沒有發(fā)現(xiàn)的觀點？這是不是一個理性的選擇？還是因為讀萬卷書而得到的結(jié)果？

上述這些當(dāng)然都是極其重要的原因，但是我認(rèn)為最重要的創(chuàng)造力，有了踏實的基礎(chǔ)后，卻源于豐富的感情。

2. 文以載道，氣象萬千

在中國文學(xué)史上，我們看到：屈原作楚辭，李陵作河梁送別詩，太史公作史記， 諸葛亮寫出師表，曹植作贈白馬王彪詩，庚信作哀江南賦，王粲作登樓賦，陶淵明作歸去來辭，他們的作品都可以說是千古絕唱。然后，我們又看到李白，杜甫，白居易，李商隱，李煜，柳永， 晏殊，蘇軾，秦觀，宋徽宗，辛棄疾，一直到清朝的納蘭容若，曹雪芹，他們的文章詩詞，熱情澎湃，回腸蕩氣，感情從筆尖下滔滔不絕的傾瀉出來，成為我們今天見到的瑰麗的作品�？磥恚�這些作者，并未刻意為文，卻是情不能自禁。絕妙好文，沖筆而出。

何以故？孟子説：吾善養(yǎng)吾浩然之氣也。太史公說：意有所鬱結(jié)也。能夠影響古今傳世文章的氣必需要至柔至遠，至大至剛！

南北朝時，劉勰著文心雕龍，他評論五經(jīng)，認(rèn)為從文學(xué)的角度來看，經(jīng)文都是上品，以其載道也，載道的文章必定富有文氣。道不一定是道德，也可以是自然之道。至于數(shù)理方面，也講究相似的文氣。

自希臘的科學(xué)家到現(xiàn)代的大科學(xué)家，文筆泰半優(yōu)美雅潔。正如上述；他們并沒有刻意為文，然而文既載道，自然可觀。數(shù)理之與人文，實有錯綜交流的共通點，互為學(xué)習(xí)。

3. 科學(xué)的基礎(chǔ)：公理和哲學(xué)

古代希臘人和中國戰(zhàn)國時的名家，雅好辯論，尋根究底。在西方，因此而產(chǎn)生了公理的研究，影響了整個自然科學(xué)的發(fā)展。從歐幾里得的幾何公理到牛頓的三大定律，到愛因斯坦的統(tǒng)一場論，莫不與公理的思維有關(guān)。

無論在西方或是在中國，科學(xué)的突變或革命都以深刻的哲學(xué)思想為背景。希臘哲學(xué)崇尚自然，為近代的自然科學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展打好了基礎(chǔ)。中國人偏重人文，在科學(xué)主要的貢獻在應(yīng)用科學(xué)。但有趣的是中國人提出五行學(xué)說，希臘人也企圖用五種基本元素來解釋自然現(xiàn)象，柏拉圖甚至用當(dāng)時發(fā)現(xiàn)的五個最對稱的正則多面體來跟這些元素一一對應(yīng)。中國人提出陰陽的觀點，西方人也講究對偶，事實上，希臘數(shù)學(xué)家研究的射影幾何就已經(jīng)有pole（極點）和polar（極線）的觀念。文藝復(fù)興時的畫家則研究 perspective geometry（投影幾何），對偶的觀念，從那些時候，已經(jīng)開始了。

值得一提的是：對偶的觀念雖然肇源于哲學(xué)和文藝思想，但對近代數(shù)學(xué)和理論物理的影響，至大且巨。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和粒子物理中，由對偶理論推廣到對稱群的觀點，得到的結(jié)果，更是具體入微。七十年前，物理學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)負(fù)電子的對偶是正電子，而幾何學(xué)家則發(fā)現(xiàn)光滑的緊致空間存在著龐加萊對偶性質(zhì)，到了七零年代，高能物理學(xué)最成功的標(biāo)準(zhǔn)型理論的主要骨干就是幾個重要的對稱群的表示，這種表示理論在近代幾何和數(shù)論也有著奠基性的重要。近三十多年來，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)他們在七十年代引入的超對稱觀念，可以提供粒子物理和幾何豐富的思想，它預(yù)測所有粒子都有超對稱的對偶粒子，同時極小的空間和極大的空間可以有相同的物理現(xiàn)象，假如實驗?zāi)軌蜃C明超對稱的想法是正確的話，陰陽對隅就可以在基本物理中具體的表現(xiàn)出來了，說不定現(xiàn)代物理的概念可以修正和改進中國人對陰陽的看法。

文藝復(fù)興的科學(xué)家理文并重，他們也將科學(xué)應(yīng)用到繪畫和音樂上去。從笛卡兒，伽利略到牛頓和萊布尼茨這些大科學(xué)家們在研究科學(xué)時，都講究哲學(xué)思想，通過這種思想來探索大自然的基本原理。以后偉大的數(shù)學(xué)家高斯，黎曼，希爾伯特，外爾(Hermann Weyl)等都尋求數(shù)學(xué)和物理的哲學(xué)思想。黎曼創(chuàng)造黎曼幾何，就從哲學(xué)和物理的觀點來探討空間的基本結(jié)構(gòu)。至于愛因斯坦在創(chuàng)造廣義相對論時，除了用到黎曼幾何外的觀念，更大量的采用到哲學(xué)家恩斯特•馬赫(Ernst Mach)的想法。

4.地域文化對科學(xué)人文的影響

每個國家，每個地方，甚至每個大學(xué)，它們發(fā)展出來的科學(xué)，技術(shù)，雖然都由同樣的科學(xué)基礎(chǔ)推導(dǎo)而來，結(jié)果卻往往迥異。這是什么原因呢？除了制度和經(jīng)費投入不一樣以外，更重要的是它們有不同的文化背景，不同地方的科學(xué)家對自然界有不同的感受。他們寫出來的科學(xué)文章，和科技成果往往受到家庭社會背景和宗教習(xí)俗的影響。他們學(xué)習(xí)的詩詞歌賦，文學(xué)歷史也都與他們的科技成就有密切的關(guān)系。

舉個例子，在中國成長的數(shù)學(xué)家，就受到地域和導(dǎo)師的影響很大，不少的中國數(shù)學(xué)家喜歡讀幾何，大概是受到陳省身先生的影響，其次是讀解析數(shù)論，則是受到華羅庚先生的影響。而這些數(shù)學(xué)家里，又以江浙人占大多數(shù)，大概是這些地方比較富庶，又得西方風(fēng)氣之先。印度的學(xué)者，則受 Srinivasa Ramanujan 和 Harish Chandra 的影響，喜歡數(shù)論和群表示論。日本近代數(shù)學(xué)的幾位奠基者，包括高木貞治(Takagi Teiji)在內(nèi)，家里都是精通蘭學(xué)的學(xué)者，對荷蘭文有很好的認(rèn)識，因此他們比較容易接受西方的數(shù)學(xué)觀念。

我遇見過很多大科學(xué)家，尤其是有原創(chuàng)性的科學(xué)家，對文藝都有涉獵。他們的文筆流暢，甚至可以媲美文學(xué)家的作品。其實文藝除了能夠陶冶性情以外，文藝創(chuàng)作與科學(xué)創(chuàng)作的方法實有共通的地方。

5. 中國人的感情和理想

出色的理文創(chuàng)作，必須有濃厚的感情和理想，在這一點上，中國人并不比西方人遜色。中國古代學(xué)者都有濃厚的感情，它們充分的表現(xiàn)在詩詞歌賦上。

其實中國文化在文藝以外的活動，表現(xiàn)出來的感情也是極為豐滿的。在中國古代，不少人為了理想而不惜性命。當(dāng)年張騫出使西域，間關(guān)萬里。西域的文化、農(nóng)產(chǎn)和牲畜，因此源源不絕地輸入中原。而衛(wèi)青和霍去病奔馳大漠，竇憲勒石燕然，出生入死，才去除匈奴數(shù)百年來在北方做成的禍患。霍去病曾說：匈奴未滅，何以家為？有了這些勇氣，這種志愿。他們才能夠建立這些名垂千古的事跡。

東晉時，外族入侵，中原板蕩，祖狄謀復(fù)中原之地，帶兵渡江時，祖狄擊楫而誓，說“祖狄不能清中原而復(fù)濟者，有如此江！”這是何等的志氣！何等的應(yīng)許！

在魏晉南北朝和唐朝，僧人為求佛法，不惜舍命于沙漠和大海，終于帶回大量的經(jīng)卷。其中一個典型的例子是東晉時的法顯，他為求佛法，在五十九歲的高齡，行走河西走廊，過玉門關(guān)，橫越沙河，翻過蔥嶺，直達印度。其間歷盡艱險，苦學(xué)梵文和抄寫經(jīng)典后，又在海上多次遇難，才回到中原。全程十三年四個月，他自已在佛國記里面說：“顧尋所經(jīng)，不覺心動汗流。所以乘危履險，不惜此形者，蓋是志有所存。專其愚直，故投命于不必全之地，以達萬一之冀。”這種毅力，真是值得我們欽佩。

宋朝文天祥被蒙古人囚禁時，作正氣歌。他認(rèn)為天地間有一種正氣，這個氣是文學(xué)家和科學(xué)家共同享有的，也就是孟子說的浩然之氣。我們在創(chuàng)作的時候，這種氣會表現(xiàn)出來�，F(xiàn)代的杰出科學(xué)工作者，肉體上未必經(jīng)得起上述諸賢的艱苦經(jīng)驗，但他們做研究時堅持的意志卻可以跟上述諸賢媲美。初學(xué)者需要欣賞和學(xué)習(xí)這種意志。

6. 科學(xué)和人文的共同點

詩人墨客，詩詞歌賦，最能表達這種高尚的情懷。所以科學(xué)家與文學(xué)家有很多能夠產(chǎn)生共鳴的地方。事實上，科學(xué)家和文學(xué)家除了有共同的感情以外，在研究的方法上，也有很多類似的地方。

在我從前寫了一篇文章，我用不同的例子指出數(shù)學(xué)家可以用和古代中國文學(xué)家賦比興類似的手法，做出第一流的創(chuàng)作。

現(xiàn)在再舉另一個例子：

蘇東坡是北宋的大文豪，一代詞宗。他作了一首洞仙歌：

冰肌玉骨，自清涼無汗。水殿風(fēng)來暗香滿。繡簾開，一點明月窺人，人未寢，倚枕釵橫鬢亂。起來擕素手，庭戶無聲，時見疏星渡河漢。試問夜如何，夜已三更，金波淡，玉繩低轉(zhuǎn)。但屈指，西風(fēng)幾時來，又不道，流年暗中偷換。

這詞的背景是：蘇軾在七歲時，見過眉山地方的一個老尼，姓朱，年約九十，自已說曾經(jīng)去過蜀主孟昶的宮廷中。有一日，天氣炎熱，蜀主和他的妃子花蕊夫人深夜納涼于摩訶池上。孟昶作了一首詞，這個尼姑還能記得這首詞，并告訴了蘇軾。四十年后，蘇軾只能夠記得詞中頭兩句。蘇軾有天得暇，尋找詞曲，猜測這詞應(yīng)該為洞仙歌令。蘇軾因此循著這兩句的做意和猜測蜀主的想法，將這首詞續(xù)完。

蘇軾續(xù)詞對中國文學(xué)是一個貢獻。但我們想想，不同的文人對著殘缺的詞句，一定會有不同的反應(yīng)。

假如是清代的乾嘉學(xué)者，就可能花很多時間對這件事做考據(jù)，得出一個結(jié)論：就是這詞不可考！因此不會去續(xù)這首詞。

有一些文人，可能沒有能力去猜測到這詞的詞牌名，當(dāng)然也不會做任何事。

另外有一些文人，可能像蘇軾一樣，猜到了詞牌名，卻沒有興趣去將它續(xù)起來。還有一些文人，雖然找到詞牌名，但文藝功力太差，續(xù)出來的可能是沒有趣味的詞。但是蘇軾卻興致勃勃地花了時間去推敲，去猜測，寫了一篇傳世的杰作！

我為什么要舉這個例子呢？因為科研的創(chuàng)作，有類似的情形。上述四個不同的描述正好反映了清初到近代，中國科學(xué)發(fā)展的幾個階段！

但有一點值得注意的是: 蘇軾深愛文學(xué)，才會在四十年后還記得七歲學(xué)過的詞的前兩句，但是縱然這是絕妙好句，有多少人過了一兩年后還記得別人寫的詞？從這里也可以看到學(xué)者的感情所在。坦白說，我本人五十年前讀這首詞，到現(xiàn)在也還記得詞中這兩句。但是我教我的小孩念詞，過了兩三年后他們就全部忘記了。

現(xiàn)在來看看科學(xué)的發(fā)展，在一九零五年時，物理學(xué)家知道兩個重要的理論，就是牛頓的引力場論和狹義相對論。他們都與引力有關(guān)，同時都基本正確，卻互相矛盾。愛因斯坦對這個問題有無比的興趣，他知道這兩個理論是一個更完美的引力理論的一部分，他在數(shù)學(xué)家閔科夫斯基，高斯，黎曼和希爾伯特的幇忙下，完成了曠世大作，就是我們欽佩的廣義相對論。

愛因斯坦的創(chuàng)意和能力當(dāng)然遠勝于蘇軾補洞仙詞，但卻有點相似。我來做一個不大合適的比擬，蘇軾記得蜀主的兩句詞，一句可比擬為牛頓力學(xué)，另一句可比擬為狹義相對論里面的洛倫茲轉(zhuǎn)換。愛氏花了十年功夫來研究引力場，就是從這兩件事情做出發(fā)點，用他深入的物理洞察力和數(shù)學(xué)家提出的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，才完成他留名千古的引力理論！這一點有點像蘇軾在續(xù)詞時，對四川有深入的了解，又能體會到孟昶和花蕊夫人在摩訶池水晶殿里的情形，心有所感，才能以他高明的手法續(xù)完這首詞。

但這里有一個重要的分別，假如愛丁頓(Arthur Stanley Eddington)在一九一九年時沒有用望遠鏡觀察證明廣義相對論的話，則無論愛因斯坦的理論多漂亮，仍然不是一個重要的工作。物理學(xué)需要實驗，數(shù)學(xué)需要證明，文學(xué)卻不需要這么嚴(yán)格，但是離現(xiàn)象界太遠的文學(xué)，終究不是上乘的文學(xué)。

一首詞續(xù)得好，需要有文學(xué)修養(yǎng)，也需要有意境，才能夠天衣無縫，但和大型歌劇或小說比較，它的創(chuàng)作，還是來得容易些。

7. 文學(xué)和科學(xué)中的大型創(chuàng)作

現(xiàn)在來看看文學(xué)和科學(xué)的領(lǐng)域里，大型的結(jié)構(gòu)是如何被創(chuàng)作出來的。中國最有名的經(jīng)典著作要數(shù)紅樓夢，它的作者曹雪芹并沒有將這部巨著全部完成，這可是千古憾事，我們?nèi)绾螌⑺�續(xù)完呢? 除了需要有出色的文學(xué)技巧外，還需要了解該書的內(nèi)容和背景，由于這部書的內(nèi)容錯綜復(fù)雜，從現(xiàn)代的觀點來看，可能需要用統(tǒng)計和數(shù)學(xué)的方法來幫忙。

當(dāng)年曹雪芹寫紅樓夢，借用了自身的經(jīng)歷來描述封建社會大家族所遇到的無可避免的腐敗和墮落，也描述了當(dāng)年家族的榮華富貴。他與評書人脂硯齋，一路著書， 一路觸目愁腸斷。整本書可以說是以血書成，作者自己也說：十年辛苦非尋常。書中表現(xiàn)出來的筆墨，充滿了他澎湃的感情，但卻是有條有理的創(chuàng)造和敘述。在這本書差不多完成時，作者卻因傷感而去逝了，“芹為淚盡而逝”。但至今還沒有任何作者能夠?qū)⑦@部巨著完滿地續(xù)成，對曹雪芹當(dāng)年的想法如何處理，還是爭論不已的大問題。

曹雪芹和他的家族的經(jīng)歷當(dāng)然是多姿多釆，但是他不可能將真事盡數(shù)寫下來。畢竟事情有先后輕重之分，又為了將真事隱去，他不可能不創(chuàng)造一些情節(jié)，一些詩詞，一些交談內(nèi)容來完成一個完整的圖畫，他用了種種不同的手法，將舊社會與大家庭的腐敗以及個人的經(jīng)歷用他富有感情的文筆表現(xiàn)出來。曹雪芹以后，很多學(xué)者想學(xué)他的寫法，效果卻相差甚遠，除了文藝水平不如曹雪芹外，他們寫書時感情的濃郁和曹雪芹的內(nèi)心世界是無可比擬的。

紅樓夢的創(chuàng)作過程有如一個大型的數(shù)學(xué)創(chuàng)作，或者一個大型的科學(xué)創(chuàng)作。數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，也是企圖構(gòu)造一個架構(gòu)，來描述見到的數(shù)學(xué)真理，或是大自然的現(xiàn)象。在這個大型結(jié)構(gòu)里，有很多已知的現(xiàn)象或者定理。在這些表面上沒有明顯聯(lián)系的現(xiàn)象里，我們要企圖找到它們的關(guān)系。當(dāng)然我們還需要證明這些關(guān)系的真實性，也需要知道這些關(guān)系引起的效果。

但如何找到這些聯(lián)系的方法，因作家而異。在小說的創(chuàng)作里，小說家的能力和經(jīng)歷，會表現(xiàn)在這些地方。一個好的科學(xué)家，都會創(chuàng)造自己的觀點，或者自己的哲學(xué)觀點，來觀察我們研究的大結(jié)構(gòu)，例如韋伊(André Weil)要用代數(shù)幾何的方法來研究數(shù)論的問題，而朗蘭茲(Robert Langlands)要用自守型表示理論來研究數(shù)論。他們在建立現(xiàn)代數(shù)論的大結(jié)構(gòu)時，就用了不同的手法來聯(lián)系數(shù)論中不同的重要部分，得到數(shù)論中很多重要的結(jié)論，值得驚訝的是：他們得到的結(jié)論往往一樣，殊途同歸。當(dāng)年我和一群朋友建立幾何分析這門學(xué)問時，就采取一個觀點，就是大量的幾何現(xiàn)象需要用非線性微分方程來解釋，方程的解往往可以決定空間的幾何性質(zhì)。幾何學(xué)家想研究的現(xiàn)象包括了子流形和不同的幾何結(jié)構(gòu)，我在一九七六年完成的卡拉比猜想就是要構(gòu)造復(fù)流形上的幾何結(jié)構(gòu)，方法是解非線性微分方程。

以后大家開始重視這種方法，非線性方程因此橫跨各個領(lǐng)域。除了復(fù)幾何外，我當(dāng)時想做三維空間的幾何結(jié)構(gòu)問題。但是我的同學(xué)瑟斯頓(William Thurston)也認(rèn)識到這個問題的重要性，他用徧向于拓樸學(xué)和黎曼面的方法，將這個問題的重要部分率先解決了�？梢娮鰧W(xué)問的方法不拘一格。但是三維空間的結(jié)構(gòu)問題，最后還得用幾何分析的方法來完成。

8. 科學(xué)的美和科學(xué)家的主觀的感情

能夠左右科學(xué)發(fā)展大流的科學(xué)必須有如下的性質(zhì)：它能夠?qū)Υ笞匀粚��?shù)學(xué)的現(xiàn)象有普遍和深入的了解，在物理學(xué)，我們對一些現(xiàn)象進行抽象，進行解釋，從而構(gòu)造一些理論，在得到這些理論后，我們?nèi)ネ茖?dǎo)，去找尋新的現(xiàn)象，于是重新觀察，重新做實驗，來驗證這些構(gòu)造出來的理論。當(dāng)這些理論被驗證后，假如應(yīng)用范圍很廣泛，我們就稱它為定律。受到歐幾里得公理化的影響，牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)在三大定律，三大定律的敘述極為簡單，而描述的現(xiàn)象卻極度深刻，它的真實不受時空的限制！這是一千多年來，無數(shù)物理學(xué)家智慧的結(jié)晶。

從歷史中，我們看到將無數(shù)有意義的現(xiàn)象抽象和總結(jié)而成為定律時，中間的過程總是富有情感的！在解決大問題關(guān)鍵的時候，科學(xué)家的主觀的感情起著極為重要的一面，這個感情是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的原動力！面對著震撼我們心弦的真理時，好的科學(xué)家會不顧一切，不惜冒生命的危險去發(fā)掘真理，去挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的理論，甚至于得罪權(quán)貴，伽利略對教會的著名挑戰(zhàn)就是這個感情表現(xiàn)的一面。

為什么?

當(dāng)一個科學(xué)家發(fā)現(xiàn)他們推導(dǎo)出來的定律或定埋是如此的簡潔，如此的普遍，如此的有力地解釋各種現(xiàn)象時，他們不能不贊嘆自然結(jié)構(gòu)的美妙，也為這個定律或這個定理的完成而滿意。這個過程值得一個科學(xué)家投入畢生的精力！茍真理之可知，雖九死其猶未悔！

文學(xué)藝術(shù)也一樣，紅樓夢，莎士比亞，詩經(jīng)，楚辭表現(xiàn)出來的感情，跨越時空，普羅大眾都能夠感受到，好的藝術(shù)必須能夠表現(xiàn)出作者的感情，即使寫景，也可以融合感情在內(nèi)！曹雪芹寫紅樓夢，筆尖帶著他畢生的感情，所以以后學(xué)紅樓夢的作者不知多少，但是都缺乏這個深入的感情，所以都沒有學(xué)好。

由于藝術(shù)家的經(jīng)驗是在他們存身的社會吸取得來的，也是在觀察普羅大眾得到的，他們的著作反映的感情也往往代表著當(dāng)時社會大眾的感情，這一點和科學(xué)觀察有類似的地方。

用一個主要的思想來建造大型科學(xué)結(jié)構(gòu)跟文藝創(chuàng)作也很相似，曹雪芹創(chuàng)作紅樓夢時的一個重要觀點就是以情悟道，以四大家族的衰敗來拱托這個感情。羅貫中寫三國演義，就是要弘揚以劉氏為正統(tǒng)，貶低曹魏氏的思想。

二十世紀(jì)代數(shù)幾何和算術(shù)幾何的發(fā)展就是一個宏偉的結(jié)構(gòu)，比紅樓夢的寫作，更瑰麗，更結(jié)實，但它是由數(shù)十名大數(shù)學(xué)家共同完成的。在整個數(shù)學(xué)洪流中，我們見到大數(shù)學(xué)家各展所能，發(fā)展不同的技巧，解決了很多懸而未決的問題，但是要左右整個大流方向的數(shù)學(xué)家，實在不多，我們上面提到過的Weil和Langlands就是很好的例子。

我們需要培養(yǎng)一些能望盡天涯路，又能衣帶漸寬終不悔的學(xué)者，這是需要濃郁的文化和感情的背景才能產(chǎn)生出來。正如宋徽宗詞中的敘述：天遙地遠，萬水千山，知他故宮何處，怎不思量，除夢里有時曾去！

從這里，也許可以看到中西數(shù)學(xué)的不同。直到如今，除了少數(shù)兩三個大師外，中國數(shù)學(xué)家走的研究道路基本上還是蕭規(guī)曹隨，在創(chuàng)新的路上，提不起勇氣，不敢走前人沒有走過的路！我想這一點與中國近幾十年來，文藝教育不充足，對數(shù)理感情的培養(yǎng)不夠有關(guān)。

9. 科學(xué)和人文學(xué)家要求的完美圖畫

我們現(xiàn)在來看另外一個例子來解釋數(shù)理與人文共通的地方：文學(xué)家和科學(xué)家都想構(gòu)造一個完美的圖畫，但每個作者有不同的手法。

在漢朝，中國數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始研究如何去解方程式，包括計算立方根，到宋朝時，己經(jīng)可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數(shù)字解，對方程的結(jié)構(gòu)沒有深入的了解。

一個最簡單的問題就是解二次方程： X² + 1 = 0

這個方程沒有實數(shù)解，事實上，無論 X 是任何實數(shù)，方程的左邊總是大于零，所以這個方程式?jīng)]有實數(shù)的解，因此中國古代數(shù)學(xué)家不去討論這個方程式。

大約在四百多年前，西方數(shù)學(xué)家開始注意這個方程，文藝復(fù)興后的意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)它跟解三次和四次方程有關(guān)。他們知道上述二次方程沒有實數(shù)解，就假設(shè)它還是有解，將這個想像中的解叫做虛數(shù)。

虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)，可了不起得很！它可以媲美輪子的發(fā)現(xiàn)。有了虛數(shù)后，西方學(xué)者發(fā)現(xiàn)所有多項式都有解，而且解的數(shù)目剛好是多項式的次數(shù)。所以有了虛數(shù)后，多項式的理論才成為完美的理論。完美的數(shù)學(xué)理論很快就得到無窮的應(yīng)用。事實上，其后物理學(xué)家和工程學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)是用來解釋所有波動現(xiàn)象最佳的方法，這包括音樂，流體，和量子力學(xué)里面波動力學(xué)的種種現(xiàn)象。數(shù)論研究物件的重要部分是整數(shù)，但為了研究整數(shù)，我們不能避免地要大量的用到復(fù)數(shù)的理論來幫忙。在十九世紀(jì)初葉，柯西和黎曼開始了復(fù)變函數(shù)的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。黎曼又引入了 Zeta 函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的解析性質(zhì)可以給出整數(shù)中的質(zhì)數(shù)(prime number)的基本性質(zhì)。另一方面，他也因此而開發(fā)了高維拓樸這個學(xué)科。

由于復(fù)數(shù)的成功，數(shù)學(xué)家企圖將它推廣，制造新的數(shù)域，很快就發(fā)現(xiàn)除非放棄一些條件，那是不可能的。但是哈密爾頓(William Rowan Hamilton)和凱利(Arthur Cayley)先生卻在放棄復(fù)數(shù)域中某些性質(zhì)后，引進四元數(shù)(quarterion)和八元數(shù)(Cayley numbers)這兩個新的數(shù)域。這些新的數(shù)域影響了狄拉克(Paul Dirac)在量子力學(xué)的構(gòu)想，創(chuàng)造了Dirac方程式。從這里可以看到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為了追求完美化而得到重要的結(jié)果。

其實物理學(xué)上很多偉大的發(fā)現(xiàn)，是偉大的科學(xué)家通過一些思考的實驗和他們深入的洞察力得到的。愛因斯坦創(chuàng)造廣義相對論時，人類觀察到的宇宙空間實在不大，他卻得到數(shù)學(xué)家的大力幫助。在愛因斯坦完成廣義相對論后，外爾和很多科學(xué)家開始融合引力場理論和電磁場理論，外爾率先提出規(guī)范場的理論，經(jīng)過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對論類似的規(guī)范場論，在物理學(xué)上，這是一個偉大的突破。廿多年以后，泡利(Wolfgang Pauli)，楊振寧和米爾斯(Robert L. Mills)將規(guī)范群推廣到非交換群后，完成了一般的規(guī)范場理論，成為近代物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。

有趣的是，外爾說：假如理論和見到的現(xiàn)象界有沖突時，而這個理論漂亮而簡潔的時候，我寧愿相信理論。這個看法對規(guī)范場理論的發(fā)展，有很大的幫助！在這里，我們看到文學(xué)家和科學(xué)家類似的地方。Dirac在完成他的方程后，他說我的方程式比我自己更有深度，因為它優(yōu)美地描述了基本粒子的性質(zhì)，并在實驗室中得到證明，有些性質(zhì)是Dirac在創(chuàng)造這個方程前沒有辦法想像的。這是科學(xué)創(chuàng)新中產(chǎn)生的一個奇妙的現(xiàn)象，我們用以了解真理的工具往往會帶領(lǐng)我們向前，不斷的向前摸索！

將一個問題或現(xiàn)象完美化，然后，將完美化后的結(jié)果應(yīng)用到新的數(shù)學(xué)理論，來解釋新的現(xiàn)象，這是數(shù)學(xué)家的慣用手法，這與文學(xué)家有很多相似的地方，只不過文學(xué)家用這種手法來表達他們的感情罷了。

舉例來說，在中國古代很多傳說，很多是憑想像，將得到的一些知識，循當(dāng)時作者或當(dāng)政者的需要而完成一些著作，所以我們看到東漢劉向父子作偽經(jīng)，也看到山海經(jīng)的寫作，夸大地描述很多無法證明的事件。

中國詩詞也有不少的例子。例如，李商隱和李白就創(chuàng)作了“錦瑟無端五十弦”和“白發(fā)三千丈”這兩句夸大的詩句。

在明清的傳奇小說里，這種寫法更加流行，西游記里面描述的很多事情只有很少部分是事實，三國演義里孔明借東風(fēng)的事是作者為了夸大諸葛亮的能力而寫出來的。

文學(xué)家為了欣賞現(xiàn)象或者舒解情懷而夸大而完美化，但數(shù)學(xué)家卻為了了解現(xiàn)象而構(gòu)建完美的背景。我們在現(xiàn)象界可能看不到數(shù)學(xué)家虛擬結(jié)構(gòu)的背景，但正如數(shù)學(xué)家創(chuàng)造虛數(shù)的過程一樣，這些虛擬的背景卻有能力來解釋自然界的奇妙現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)家的眼中，這些虛擬背景，往往在現(xiàn)象界中呼之欲出，對很多數(shù)學(xué)家來說，虛數(shù)和圓球的觀念都可以看做自然界的一部份�，F(xiàn)在粒子物理學(xué)里面有一個成功的理論叫做夸克理論，它和虛數(shù)理論有異曲同工之妙，人們從來沒有看見過夸克，但是我們感覺到它的存在。

有些時候，數(shù)學(xué)家花了幾千頁紙的理論來將一些模煳不清的具體現(xiàn)象用極度抽象的方法去統(tǒng)一，去描述，去解釋。這是數(shù)學(xué)家追求完美化的極致，值得驚奇的是，這些抽象的方法居然可以解決一些極為重要的具體問題，最出名的例子就是格羅滕迪克(Alexandre Grothendieck)在Weil猜想上的偉大工作。物理學(xué)家在七十年代引進的超對稱也是將對稱的觀念極度推廣，我們雖然在實驗室還沒有見到超對稱的現(xiàn)象，但它已經(jīng)引起了很多重要的物理和數(shù)學(xué)上的思維。

10. 優(yōu)良的科學(xué)家需要人文的訓(xùn)練

近代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)不同的分枝取得巨大的成果，與文學(xué)家的手段極為類似。所以我說好的數(shù)學(xué)家最好有人文的訓(xùn)練，從變化多姿的人生和大自然界得到的靈感來將我們的科學(xué)和數(shù)學(xué)完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，作小量的改進，就以為自己是一個大學(xué)者。

中國數(shù)學(xué)家，太注重應(yīng)用，不在乎數(shù)學(xué)嚴(yán)格的推導(dǎo)，更不在乎數(shù)學(xué)的完美化，到了明清，中國數(shù)學(xué)家實在無法跟文藝復(fù)興的數(shù)學(xué)家比擬。

有清一代，數(shù)學(xué)更是不行，沒有原創(chuàng)性！可能是受到乾嘉考證的影響，大多好的數(shù)學(xué)家跑去考證九章算術(shù)，和唐宋的數(shù)學(xué)著作，不做原創(chuàng)性的工作。和同一個時代，文藝復(fù)興以后的意大利，英國，德法的學(xué)者不斷的嘗試的態(tài)度迥異。找尋原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)思想，影響了牛頓力學(xué)。因此而產(chǎn)生了多次的工業(yè)革命。

到今天，中國的理論科學(xué)家在原創(chuàng)性還是比不上世界最先進的水準(zhǔn)，我想一個重要的原因是我們的科學(xué)家在人文的修養(yǎng)還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富！這種感情對科學(xué)對文學(xué)家說，其實是共通的。我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族。上述的文學(xué)家詩人小說家的作品，比諸全世界，都不遑多讓！

但是我們的科學(xué)家對人文的修養(yǎng)卻不大注意，我們管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們大概認(rèn)為語文和歷史的教育并不重要，用了一些淺顯而沒有深度的通識教育來代替這些重要的學(xué)問，大概他們以為國外注重通識教育的緣故吧。 但這是舍本逐末的事情。坦白說，我還沒有看到過一個有水準(zhǔn)的國家和城市不反反復(fù)復(fù)地去教導(dǎo)國民們本國或本地的歷史的。我兩個孩子在美國一個小鎮(zhèn)讀書。他們在小學(xué)，在中學(xué)，將美國三百年的事情念得滾瓜爛熟！因為這是美國文化的基礎(chǔ)。

我敢說：不懂或是不熟習(xí)歷史的國民，他們的感覺必定是認(rèn)為自己是無根的一代，一般來說，他們的文化的根基比較膚淺，容易受人愚弄和誤導(dǎo)。這是因為他們看不清楚現(xiàn)在發(fā)生事情的前因后果。史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們?yōu)榍鼗蕽h武，唐宗宋祖創(chuàng)下的豐功偉績，感到驕傲，為他們的子孫走錯的路而感嘆！中國五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們?yōu)槭裁床缓煤玫乩�用我們祖先留給我們的遺產(chǎn)？

或許有人說，我不想做大科學(xué)家，所以不用走我所說的道路。其實這事并沒有矛盾。當(dāng)一個年輕人對自己要學(xué)習(xí)的學(xué)問有濃厚的感情后，學(xué)習(xí)任何學(xué)問都會輕而易舉！至于數(shù)學(xué)和語文并重，則是先進國家如美國等一向認(rèn)為是理所當(dāng)然的。美國比較好的大學(xué)收生時都看SAT的成績，最重要部分，考的就是語文和數(shù)學(xué)。

除了考試以外，美國好的中學(xué)也鼓勵孩子多元化，盡量涉獵包括人文和數(shù)理的科目。美國有很多高質(zhì)量的科普雜志，銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普不多，銷量也少得可憐，從這點就可以看到中西文化的異同，希望我們會漸漸的改進！

11. 博雅教育

最后要指出，數(shù)理人文和所謂博雅教育(liberal education)有莫大關(guān)系。哈佛大學(xué)文理學(xué)院院長在2006年的周年通訊中說：讓我重申博雅教育的重要性。博雅教育的目標(biāo)廣闊，既著眼于基礎(chǔ)知識，鑒古知今，推理分析，又能培養(yǎng)學(xué)生在藝術(shù)上的創(chuàng)造性，兼且對科學(xué)的概念和實驗的精準(zhǔn)性有所了解，同時也強調(diào)因材施教 (Bildung)，反對重覆不斷的操練(Übung)，頂住了過早學(xué)科化(specialization)和專業(yè)化(professionalization)的潮流。以培養(yǎng)專業(yè)人才為目標(biāo)是好些名校的優(yōu)良傳統(tǒng)，但這絕非哈佛大學(xué)的使命。哈佛學(xué)子在專注于某門學(xué)問的同時，我們希望他們成為一個事事關(guān)心、善于分析和獨立思考的人，畢業(yè)后矢志貢獻于社會，并終生學(xué)習(xí)不已。

臺灣實業(yè)家、臺積電董事長張忠謀先生對上述看法甚為贊同。他說：“博雅教育啟發(fā)我的興趣，充實我的人生，影響非常大。我曾說過，如果沒有紅樓夢，莎士比亞，貝多芬等等，我的生命會缺少一塊。對于我的工作而言，博雅教育增進我的獨立判斷的思考能力，讓我從工程師，工程經(jīng)理，總經(jīng)理，執(zhí)行長到董事長一路走來，無論擔(dān)任何種職務(wù)都受益良多。”

張董事長在企業(yè)上極為成功，可以見到數(shù)理和人文關(guān)系的重要性。

美國名校的教育使得不少的學(xué)者跨越不同的領(lǐng)域而得到極大的成就！有些學(xué)生在本科時讀英文系，畢業(yè)后卻可以成功地創(chuàng)立高科技公司。當(dāng)代數(shù)學(xué)物理有極為杰出貢獻的威騰(Edward Witten)教授在本科時念歷史。這些例子在美國名校不勝枚舉，但在華人社會卻不多見。這應(yīng)當(dāng)是歸功于美國博雅教育的結(jié)果，也就是數(shù)理人文并重的結(jié)果。

中國的教育始終離不開科舉的陰影，以考試取士，系統(tǒng)化的出題目，學(xué)生們對學(xué)問的興趣，集中在解題上，科研的精神仍是學(xué)徒制，很難看到尋找真理的樂趣。西方博雅教育的精神確實能增廣我們的視野，激勵我們的感情，更能夠培養(yǎng)大學(xué)問的成長。舉例來說，哈佛大學(xué)的 Freshman seminar，可以說是于學(xué)無所不窺! 連我前年寫的一本叫做《大宇之形》的科普書，物理系有些教授也用來做為通識課本。多讀多看課本以外的書，對我們做學(xué)問，做人處世都會有大幫助！

好的文學(xué)詩詞，發(fā)自作者內(nèi)心，生生不息。將人與人的關(guān)系，人對自然界的感受表現(xiàn)出來。激情處，可以動天地，泣鬼神。而至于萬古長存，不朽不滅！偉大的科學(xué)家不也是同樣的要找到自然界的真實，和它永恒的美麗嗎?

12. 后記

我在中國博物館看到羅丹的遺囑，在這遺囑里我們看到雕塑家和科學(xué)家有著相同的目標(biāo)。節(jié)錄如下：

生在你們以前的大師，你們要虔誠地愛他們。

可是要小心，不要模仿你的前輩。尊重傳統(tǒng)，把傳統(tǒng)所包含永遠富有生命力的東西區(qū)別出來 ——對“自然”的愛好和真摯，這才是天才作家的兩種強烈的渴望。他們都崇拜自然，從沒有說過謊。所以傳統(tǒng)把鑰匙交給你們，依靠這把鑰匙，你們能避開守舊的桎梏。也正是傳統(tǒng)，告誡你們要不斷地探求真實，并阻止你們盲從任何一位大師。

但愿“自然”成為你們惟一的女神。

對于自然，你們要絕對信仰。你們要確信，“自然”是永遠不會丑惡的，要一心一意忠于自然。

在藝術(shù)家眼中，一切都是美的，因為他銳利的目光能夠穿透任何人或物，發(fā)現(xiàn)其“性格”，換句話說，能夠發(fā)現(xiàn)其外形下透露出的內(nèi)在真理；而這個真理就是美的本身。虔誠地鉆研吧，你們一定能找到美，因為你們將會發(fā)現(xiàn)真實。奮發(fā)地工作吧!

要有耐心！不要指望靈感。靈感是不存在的。藝術(shù)家的優(yōu)良品質(zhì)，無非是智慧、專心、真摯、意志。像一個誠實的工人一樣完成你們的工作吧。

在我看來，羅丹教導(dǎo)我們的，何止是藝術(shù)，他每一句話都可用在科研的創(chuàng)新上，我們用我們真摰純樸的感情去找尋大自然的美麗，大自然的真實。我們都感謝以前的大師，我們在他們的肩膀上向前摸索，但我們也知道他們的道路不是唯一的，讓我們勇往直前，建立我們自己了解大自然的道路！